9  Lissage et Interpolation Spatiale

Author

Dr. Elisabetta Pietrostefani

Published

March 22, 2026

9.1 Introduction

Les données spatiales sont rarement complètes — on observe un phénomène en un nombre limité d’endroits, et on cherche à l’estimer partout. Ce chapitre couvre deux approches complémentaires :

Méthode Question posée Usage typique
IDW — Pondération Inverse à la Distance Quelle valeur prédit-on en ce point ? Prix immobiliers, pollution, température
Carte de chaleur (heatmap) Où les points sont-ils concentrés ? Densité d’annonces, accidents, commerces
Code 
library(sf)
library(gstat)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(scales)

9.2 Partie 1 — Interpolation IDW

9.2.1 Le principe

L’IDW prédit la valeur en tout point comme une moyenne pondérée des observations voisines, où le poids décroît avec la distance :

\[\hat{Z}(s_0) = \frac{\sum_{j=1}^{N} w_j \cdot Z(s_j)}{\sum_{j=1}^{N} w_j} \quad \text{avec} \quad w_j = \frac{1}{d(s_0,\, s_j)^p}\]

  • \(p\) = puissance — plus elle est grande, plus les points lointains sont ignorés
  • \(N\) = nombre de voisins pris en compte

9.2.2 Charger les données

Code 
districts <- read_sf("data/London/Polygons/districts.shp")

housesales_sf <- read.csv("data/London/Tables/housesales.csv") |>
  st_as_sf(coords = c(17, 18)) |>
  st_set_crs(27700)

cat("Nb transactions :", nrow(housesales_sf), "\n")
Nb transactions : 2444
Code 
ggplot() +
  geom_sf(data = districts, fill = "grey92", color = "white", linewidth = 0.3) +
  geom_sf(data = housesales_sf, aes(color = price),
          size = 0.4, alpha = 0.5) +
  scale_color_viridis_c(
    option = "plasma", direction = -1,
    name   = "Prix (£)",
    labels = label_comma(prefix = "£")
  ) +
  labs(title   = "Transactions immobilières — Londres",
       caption = "Source : données Londres | Cours R-Carto") +
  theme_void(base_size = 12) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5))
Figure 9.1: Transactions immobilières à Londres — points colorés par prix

9.2.3 Appliquer l’IDW

Code 
housesales_sp <- sf::as_Spatial(housesales_sf)

gs <- gstat(
  formula = price ~ 1,
  data    = housesales_sp,
  nmax    = 50,
  set     = list(idp = 2)
)

# Grille de prédiction à 500 m, clippée sur Londres
grid_sf <- st_make_grid(districts, cellsize = 500, what = "centers") |>
  st_as_sf() |>
  st_filter(districts)

idw_sf <- predict(gs, sf::as_Spatial(grid_sf)) |>
  st_as_sf() |>
  rename(pred = var1.pred)
[inverse distance weighted interpolation]
Code 
ggplot() +
  geom_sf(data = idw_sf, aes(color = pred), size = 1.2, shape = 15) +
  scale_color_viridis_c(
    option    = "plasma", direction = -1,
    name      = "Prix interpolé (£)",
    labels    = label_comma(prefix = "£")
  ) +
  geom_sf(data = districts, fill = NA, color = "white", linewidth = 0.3) +
  labs(
    title    = "Interpolation IDW — Prix immobiliers à Londres",
    subtitle = "Résolution 500 m | N voisins = 50 | puissance p = 2",
    caption  = "Source : données Londres | Cours R-Carto"
  ) +
  theme_void(base_size = 12) +
  theme(
    plot.title        = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle     = element_text(color = "grey40", hjust = 0.5),
    legend.key.height = unit(1.5, "cm")
  )
Figure 9.2: Surface de prix interpolée par IDW — Londres (résolution 500 m)
Exercice 1 — Faire varier les paramètres
Paramètre Valeur actuelle À tester
nmax (N voisins) 50 10, 100
idp (puissance) 2 1, 4
cellsize (résolution) 500 m 250 m, 1000 m
Code 
gs_test <- gstat(formula = price ~ 1,
                 data    = sf::as_Spatial(housesales_sf),
                 nmax    = ___,
                 set     = list(idp = ___))

grid_test <- st_make_grid(districts, cellsize = ___, what = "centers") |>
  st_as_sf() |> st_filter(districts)

idw_test <- predict(gs_test, sf::as_Spatial(grid_test)) |>
  st_as_sf() |> rename(pred = var1.pred)

ggplot() +
  geom_sf(data = idw_test, aes(color = pred), size = 0.8, shape = 15) +
  scale_color_viridis_c(option = "plasma", direction = -1,
                        labels = label_comma(prefix = "£")) +
  geom_sf(data = districts, fill = NA, color = "white", linewidth = 0.3) +
  theme_void()

9.3 Partie 2 — Carte de chaleur (heatmap)

Une heatmap répond à une question différente de l’IDW : non pas quelle valeur en un point, mais combien de points se concentrent autour. Elle est idéale pour visualiser la densité spatiale d’un phénomène.

stat_density_2d() de ggplot2 calcule une estimation de densité par noyau gaussien bidimensionnel directement sur les coordonnées — aucun package supplémentaire nécessaire.

Code 
coords <- st_coordinates(housesales_sf) |>
  as.data.frame() |>
  setNames(c("x", "y"))

ggplot() +
  geom_sf(data = districts, fill = "grey15", color = "grey35", linewidth = 0.3) +
  stat_density_2d(
    data        = coords,
    aes(x = x, y = y, fill = after_stat(density)),
    geom        = "raster",
    contour     = FALSE,
    interpolate = TRUE,
    alpha       = 0.85
  ) +
  scale_fill_viridis_c(option = "inferno", name = "Densité", guide = "none") +
  geom_sf(data = districts, fill = NA, color = "white", linewidth = 0.3) +
  labs(
    title    = "Densité des transactions immobilières — Londres",
    subtitle = "Estimation par noyau gaussien",
    caption  = "Source : données Londres | Cours R-Carto"
  ) +
  theme_void(base_size = 12) +
  theme(
    plot.title      = element_text(face = "bold", hjust = 0.5, color = "white"),
    plot.subtitle   = element_text(color = "grey60", hjust = 0.5),
    plot.caption    = element_text(color = "grey50", size = 9),
    plot.background = element_rect(fill = "grey15", color = NA)
  )
Figure 9.3: Densité des transactions immobilières — heatmap par noyau gaussien
Exercice 2 — Heatmap des transactions les plus chères

Filtrez les transactions au-dessus de 500 000 £ et produisez une heatmap pour visualiser où se concentrent les biens les plus chers.

Code 
coords_cher <- housesales_sf |>
  filter(price > ___) |>
  st_coordinates() |>
  as.data.frame() |>
  setNames(c("x", "y"))

ggplot() +
  geom_sf(data = districts, fill = "grey15", color = "grey35", linewidth = 0.3) +
  stat_density_2d(
    data        = coords_cher,
    aes(x = x, y = y, fill = after_stat(density)),
    geom        = "raster", contour = FALSE, interpolate = TRUE, alpha = 0.85
  ) +
  scale_fill_viridis_c(option = "magma", guide = "none") +
  geom_sf(data = districts, fill = NA, color = "white", linewidth = 0.3) +
  labs(title = "Transactions > 500 000 £ — Londres") +
  theme_void() +
  theme(plot.background = element_rect(fill = "grey15", color = NA),
        plot.title = element_text(color = "white", face = "bold", hjust = 0.5))

9.4 Exercice — Reproduire sur Paris Airbnb

À vous de jouer !

Reproduisez les deux analyses avec les données Airbnb de Paris :

Partie A — IDW sur le prix

  1. Chargez arrondiss_lambert.shp et listings.csv
  2. Spatialisez les annonces (colonnes 8 et 7), reprojetez en Lambert-93
  3. Filtrez à moins de 200 €/nuit
  4. Appliquez l’IDW et cartographiez le prix interpolé

Partie B — Heatmap de densité

  1. Extrayez les coordonnées des annonces filtrées avec st_coordinates()
  2. Appliquez stat_density_2d() sur fond sombre
  3. Comparez la densité globale avec celle des annonces > 150 €/nuit

→ Corrigé : Interpolation Paris

9.5 Récapitulatif

Fonctions clés 
# IDW
gs     <- gstat(formula = var ~ 1, data = sf::as_Spatial(pts_sf),
                nmax = 50, set = list(idp = 2))
grid   <- st_make_grid(polygone, cellsize = 500, what = "centers") |>
          st_as_sf() |> st_filter(polygone)
result <- predict(gs, sf::as_Spatial(grid)) |>
          st_as_sf() |> rename(pred = var1.pred)

# Heatmap
coords <- st_coordinates(pts_sf) |> as.data.frame() |> setNames(c("x", "y"))
ggplot() +
  stat_density_2d(data = coords, aes(x = x, y = y, fill = after_stat(density)),
                  geom = "raster", contour = FALSE, interpolate = TRUE)